一、（一）線線平行的判定方法：

1、公理4：平行于同一直線的兩條直線相互平行。

2、線面平行性質：一條直線與一個平面平行，通過該直線的平面與該平面交叉時，該直線與交叉線平行。

3、面面平行性質：當兩個平行平面同時與第三平面相交時，它們的交叉線平行。

4、線面垂直性質：當兩條直線垂直于同一平面時，這兩條直線平行。

5、平數中平行線的判定

（二）、線線垂直的判定方法：

1、異面直線垂直定義；

2、一條直線和兩條平行的直線中的一條垂直的話，也與其他的直線垂直。

3、三垂線定理及逆定理；

三垂線定理：平面內的直線，如果與該平面的斜線的投影垂直，則也與該斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：平面內的直線，如果與該平面的斜線垂直，則與該斜線的投影也垂直。

4、定義線面垂直；

二、（一）線面平行的判定方法：

1、直線與平面平行的判定定理：如果平面之外的一條直線與該平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。

2、面面平行的性質定理（在兩個平面平行的情況下，其中一個平面內的直線必須平行于其他平面）。

（二）線面垂直的判定方法：

1、線面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條交叉的直線垂直，則該直線垂直于該平面。

2、平面垂直性質定理：當兩個平面垂直時，在一個平面內與它們的交叉線垂直的直線垂直于另一個平面。

3、面面平行性質定理（一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面的情況下，也垂直于其他平面的情況）。

4、兩條平行線中的一條垂直于一個平面的情況下，另一條也垂直于該平面。

三、（一）面面平行的判定方法：

1、面面平行判定定理：在一個平面內兩條交叉的直線平行于另一平面的情況下，這兩個平面平行。

2、線面垂直的性質（平行于同一直線的兩個平面）；

（二）面垂直判定方法：

1、平面垂直定義；（如果兩個平面相交，兩個平面直角，則這兩個平面相互垂直。）。

2、平面垂直定理

面面平行判定定理：

定理1

如果兩個平面垂直于同一直線，則這兩個平面平行。

已知α⊥l，β⊥l。請求證明α∥β

證明：假設不平行，則交叉，并將交叉線設為m。

l和α的下垂腿是aβ的垂腳是b，在m上取任意的點p，連接PA，pb。

∵l⊥α，APα

∴l⊥AP

同理，l睡BP

因為p和l構成一個平面，所以在這個新的平面上通過p時兩條直線AP，BP和l垂直，與垂直定理矛盾。

假定不成立時α∥β

推論

如果兩個平面的垂線平行，則這兩個平面平行。（可以理解為法向量平行于平面）

證明：從線面垂直的性質可以看出兩條平行線垂直于兩個平面，使用定理1可以知道面面平行。

定理1及其推論是向量法證明面面平行的基礎，在兩個平面的法向量平行或相等的情況下，這兩個平面平行。

定理2

如果一個平面內有兩條交叉的直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行。

幾何語言：aα，bα,a∩b=a,a,∥β,b∥β。是α∥β。

反證法證明：假設這兩個平面不平行，則它們相交，交叉線l。

∵a∥β

a和β無交叉

同樣，和bβ無交叉

l是兩個平面的交叉線，lβ

a和l沒有交點，b和l沒有交點，是平行或異面。

⑤aα，bα、lα、即，它們不是不同的一面

∴a∥l，b∥l

∴a∥b

這與已知條件a∩b=a矛盾，所以假定不成立，α∥β

向量法證明：將直線a，b的方向向量a，b，平面β的法向量是p。

∵a∥β，b∥β

a垂直p，b垂直p，即a·p＝0，b·p＝0

⑤a，bα內側兩條交叉的直線

設置了任意矢量cα，從平面矢量的基本定理可知，存在c＝xa+yb的一對有序數對（x，y）。

那么p63？c=p（xa+yb=x pa+y pb=0

也就是p段c

從c的任意性和pα內的任一個矢量都是垂直的，即p也α選項卡。

∴α∥β

定理3

如果在一個平面內兩條交叉的直線分別平行于另一平面內的兩條交叉的直線，則這兩個平面平行。

幾何語言：aα，bα、以及a∩b=a。cβ，dβ，然后c∩d=b。a‖c，b‖d，則α∥β

證明：過a直線l￣β，首先，關于腳不是b的情況進行討論。以下垂腳為C，越過Cm‖c，n‖d。

∵a∥c，m∥c

∴a∥m

由于由兩個平行的直線決定一個平面，l在由a和m決定的平面上l經過a和C，a∈a，C變m：

∵l⊥m

∴l⊥a

同理l睡b

∵a∩b=a，aα，bα

∴l⊥α

∵l⊥β

α∥β（定理1）

l和β的垂腳是b的情況下，無需作為c、d的平行線通過垂腳，后證法完全相同。

線面平行判斷方法

（1）使用定義：證明直線和平面沒有共同點；

（2）利用判定定理：直線與直線平行，直線與平面平行；

（3）利用面面平行的性質：如果兩個平面平行，則一個平面內的直線必須平行于其他平面。

注意：線面平行通常通過構建平行四邊形來證明。

面面平行的判定定理

直線a，b是平面α內，且a∩b=a，a，∥β，b∥β，α∥β。

在符號語言中，aα，bα，a∩b=a，a∥β，b∥βα∥β。

線面平行性質定理：allα，acβ，αnβ=a是allb。線面垂直的性質定理：α丄α，b丄β規則αllb。

如果兩條直線平行于第三條直線，則這兩條直線也彼此平行（平行線的傳遞性）。

平行問題的證明方法

平行問題證明的基本構想：平面平行線面平行線線平行。

1.線線平行的證明方法：

利用1平面幾何中的定理：三角形（或梯形）的中位線與底邊平行；

平行四邊形的對角線平行；

利用比例

②三線平行公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。

③線面平行性質定理：一條直線平行于一個平面，通過該直線的平面與該平面相交時，與該直線相交

交叉線平行。

④面面平行的性質定理：當兩個平行平面同時與第三個平面相交時，它們的交叉線平行。

⑤線面垂直的性質定理：垂直于同一平面的兩條直線平行。